Progetti

Analisi alle differenze finite di un’aletta di raffreddamento

aletta raffreddamento intel

Calcolo numerico alle differenze finite di un’aletta di raffreddamento cilindrica tramite le differenze finite e confronto con la soluzione analitica. L’equazione che regola il fenomeno fisico è quella del problema dell’aletta considerando l’aletta stessa isolata all’estremità:

(1)   \begin{equation*}-kA\frac{dT}{dx}_x=hp(T-T_e)-kA\frac{dT}{dx}_{x+dx}\end{equation*}

dissipatore di caloreUtilizzando le seguenti ipotesi:

  • condizioni stazionarie;
  • problema monodimensionale;
  • temperatura esterna costante;
  • sezione dell’aletta cilindrica e costante;
  • proprietà termofisiche costanti.

Sotto queste ipotesi è possibile trasformare l’equazione:

(2)   \begin{equation*}\frac{d^2 \theta}{dx^2}-m^2 \theta=0\end{equation*}

dove m^2=(hp)/(kS), il coefficiente di scambio convettivo h=500 W/{m^2K}, la conducibilità termica k=40 W/{mk}, la temperatura esterna T_\infty=20^\circ C, la temperatura della superficie da raffreddare T=200°C, il raggio dell’aletta r=5 mm e la lunghezza dell’aletta L=5 cm. La soluzione analitica si trova integrando l’equazione differenziale che regola il problema e si ottiene:

(3)   \begin{equation*}\theta=\theta_0\frac{\cosh(m(x-L))}{\cosh(mL)}\end{equation*}

dove \theta=T-T_\infty. Per la soluzione analitica invece si è discretizzata l’equazione in \theta alle differenze centrali ottenendo:

(4)   \begin{equation*}\frac{\theta_{i+1}-2\theta_{i}+\theta_{i-1}}{\Delta x^2}=m^2\theta_{i}\end{equation*}

che ordinata può essere ricondotta ad un sistema lineare e scritto in termini matriciali:

(5)   \begin{equation*}\theta_{i+1}+\theta_{i}(-2-m^2 \Delta x^2)+\theta_{i-1}=0\end{equation*}

(6)   \begin{equation*}[A]\theta=B\end{equation*}

Le condizioni al contorno per x=0 sono di tipo Dirichelet avendo imposto la temperatura della superficie da raffreddare. Per x=L sono state utilizzate delle approssimazioni al primo ed al secondo ordine permettendo cosi un confronto numerico. E’ stato quindi creato un programma in codice Fortran in grado di calcolare la soluzione analitica e la soluzione numerica. Il codice genera una griglia di calcolo, suddividendo il dominio fisico in tanti nodi. Successivamente crea una sistema di equazioni che sarà poi risolto da un algoritmo di Gauss. Sotto sono visibili i risultati per una griglia di 30 nodi.

differenze finite 30 nodi

Errore assoluti e relativi

Vengono anche calcolati gli errori assoluti e relativi della soluzione numerica:

(7)   \begin{equation*}E_{ass}=T_{ana}-T_{n um}\end{equation*}

(8)   \begin{equation*}E_{rel}=\frac{E_{ass}}{T_{ana}}100\end{equation*}

dove T_{ana} rappresenta la temperatura analitica e T_{n um} la temperatura numerica.

errore assoluto 30 nodi

Il post-processing della simulazione alle differenze finite di un’aletta di raffreddamento è stato eseguito tramite Matlab. Tramite dei plot grafici i vari risultati sono stati confrontati mostrando una indipendenza dalla griglia di calcolo per più 30 nodi. Oltre 30 nodi l’accuratezza della soluzione numerica risulta indipendente dal numero di nodi.

Clicca qui sotto per scaricare la relazione completa del progetto.

Download pdf

Ti potrebbe interessare

Commenti

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *