Dinamica del punto materiale

Equazioni del moto

equazioni del moto

Le equazioni del moto descrivono la posizione di un corpo nel sistema di coordinate stabilito. Sono delle equazioni scalari e derivano solitamente dalle equazioni della dinamica del sistema. Spesso si riferisce alle equazioni del moto anche come legge oraria di un corpo.

Si parte dalle equazioni della dinamica

Le equazioni della dinamica sono le equazioni differenziali che si ottengono una volta applicato il secondo principio della dinamica. Scriviamo inizialmente le equazioni in forma vettoriale:

    \[\vec{F } = m \vec{a}\]

Dobbiamo poi definire un sistema di coordinate. In questo modo possiamo esprimere le equazioni vettoriali in equazioni scalari.

Le equazioni della dinamica in forma scalari sono solitamente delle equazioni differenziali del secondo ordine non omogenee. Considerando la precedente equazione e considerando solamente l’asse x del sistema di riferimento si ottiene:

    \[ F_x = m \ddot{x}\]

Abbiamo quindi ottenuto una equazione differenziale del secondo ordine non omogenea.

Soluzione delle equazioni differenziali

Utilizzando la matematica degli scalari possiamo risolvere le equazioni differenziali della dinamica. Nell’esempio precedente dovremmo integrare due volte per ottenere l’espressione della legge oraria.

    \[ F_x = m \ddot{x} = m \frac{d^2 x}{dt^2} = m\frac{dv}{dt}\]

Integrando l’equazione della dinamica la prima volta si ottiene:

    \begin{align*}\int_{v_0}^{v} dv  & =\int_0^t \frac{F_x}{m} dt = \\ v(t) &= \frac{F_x}{m} t + v_0\end{align*}

Partendo dall’equazione dell’accelerazione siamo arrivati all’espressione della velocità del corpo. Con un’ulteriore integrazione si ottiene l’espressione dello spostamento:

    \begin{align*} v(t)=\frac{dx}{dt} &= \frac{F_x}{m} t + v_0 \\ dx &= (\frac{F_x}{m} t + v_0)dt \\ \int_{x_0}^{x}dx &= \int_o^t (\frac{F_x}{m}t + v_0)dt \\ x(t) &=  \frac{F_x}{m}\frac{t^2}{2}+ v_0 t + x_0 \end{align*}

L’ultima espressione rappresenta proprio l’equazione del moto del corpo in esame.

Legge oraria

La legge oraria descrive come il corpo si muove nello spazio in funzione del tempo. Con questa relazione possiamo infatti studiare il moto del corpo in esame e tracciare la traiettoria che percorre nel tempo.

legge oraria

L’equazione del moto è solitamente un requisito minimo per la risoluzione di un esercizio di fisica. Una volta esplicitata completamente l’equazione del moto si procede a cercare la soluzione del problema. Questa potrebbe essere la massima distanza percorsa da un grave o lo spostamento massimo lungo un piano inclinato scabro.

È fondamentale capire che mentre le equazioni vettoriali della dinamica sono indipendenti dal sistema di coordinate, non è lo stesso per le equazioni del moto. La legge oraria infatti cambia forma in funzione del sistema di riferimento in cui viene espressa.

Scegliere correttamente il sistema di coordinate può semplificare enormemente i calcoli e ottenere una legge oraria snella e semplice.

Ti potrebbe interessare

Commenti

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *