Energia e lavoro

Equilibrio e stabilità

equilibrium

Un punto materiale è in equilibrio quando su di esso agisce un sistema di forze a risultante nullo.

    \[\sum_i^n \vec{F_i} = \vec{F_1}+\vec{F_2}+...+\vec{F_n}=0\]

Tale condizione non garantisce che il punto sia in quiete. Per il secondo principio della dinamica, il punto può ancora muoversi a velocità costante. Per imporre l’equilibrio statico occorre che anche la velocità sia nulla. Nel caso le forze agenti sul corpo siano su un piano il sistema di forze forma un poligono chiuso.

La risultante delle forze agenti, in caso di sole forze conservative, è opposto al gradiente dell’energia potenziale:

    \[ F_{tot}=-\delta U \]

In coordinate cartesiane possiamo scrivere:

    \[ \frac{\partial U}{\partial x}=0 \quad \frac{\partial U}{\partial y}=0 \quad \frac{\partial U}{\partial z}=0 \]

Equilibrio meccanico ed energia potenziale

La condizione di equilibrio può essere espressa in termini di stazionarietà dell’energia potenziale. Per capire la natura del punto di equilibrio P occorre studiare il segno della derivata seconda dell’energia potenziale.

Consideriamo un caso mono dimensionale. Il punto P può muoversi solo lungo l’asse x. Studiamo quindi l’andamento dell’energia potenziale:

  • \frac{\partial ^2 U}{\partial x^2}>0 il punto P è un punto di equilibrio stabile. Per ogni perturbazione dalla sua posizione di equilibrio, il punto tende sempre a tornare verso la posizione iniziale;
  • \frac{\partial ^2 U}{\partial x^2}<0 il punto P è un punto di equilibrio instabile. Anche piccole perturbazioni fanno allontanare il punto P indefinitivamente.
  • \frac{\partial ^2 U}{\partial x^2}=0 il punto P è un punto di equilibrio indifferente. Per qualsiasi spostamento il punto P non tende né ad allontanarsi né a tornare alla posizione iniziale.

La condizione di stabilità ed instabilità nel caso ad una sola variabile spaziale si estende facilmente al caso di più variabili. Affinché una posizione sia di equilibrio stabile occorre che l’energia potenziale presenti un minimo rispetto a tutte le variabili. Sarà invece in equilibrio instabile anche in presenza di un solo massimo rispetto ad una sola variabile.

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