Esercizi di meccanica classica

Formica cammina su un disco rotante con attrito

formica_disco_3D

Il testo del problema è il seguente:

Una formica cammina in direzione radiale verso l’esterno con velocità relativa v= 1 cm/s su un disco orizzontale scabro. Il disco ruota alla velocità angolare \omega=4.7 rad/s. Il coefficiente di attrito statico è \mu_s= 0.08.

A quale distanza dal centro del disco la formica inizierà a slittare?

A differenza di altri problemi di meccanica classica dove è facile immaginarsi cosa sta accadendo, in questa situazione l’intuito potrebbe essere ingannato. Mi raccomando se stai sostenendo una prova di esame leggi attentamente il testo più volte prima di prendere la penna in mano.

Ti invito a risolvere da solo l’esercizio. Prenditi il tuo tempo Segui i passi su come risolvere un esercizio di meccanica classica. Presta particolare attenzione al disegno. La scelta del sistema di coordinate e del verso dei vettori è fondamentale.

Disegno del disco rotante

Definiamo per prima cosa un sistema di coordinate cartesiano e rappresentiamo il problema fisico. Il sistema di coordinate è orientato con l’asse z uscente dal piano del disco rotante.

formica_disco_rotante

Si introducono poi le forze agenti. La forza peso agisce verticalmente come anche la reazione vincolare del disco. La forza di attrito statico bilancia la forza totale agente sulla povera formica mentre cammina.

Dinamica del disco rotante

Dobbiamo ora capire cosa sta bilanciando la forza di attrito statico. Siccome la formica si trova su un sistema mobile dovremmo considerare tutte le forze apparenti dovute al moto relativo del disco. Nel sistema di riferimento fisso possiamo scrivere la seguente equazione a livello di accelerazione:

    \[\vec a_a=\vec a_t+\vec a_r+\vec a_{cor}\]

L’accelerazione relativa è nulla perché la formica cammina a velocità costante sul disco e l’accelerazione di trascinamento è pari all’accelerazione centrifuga:

    \[\vec a_t=\vec \omega \times(\vec \omega \times \vec r)\]

dove r è pari alla distanza della formica dal centro del disco. L’accelerazione di traslazione e tangenziale sono infatti nulle.

L’accelerazione assoluta è quindi pari all’accelerazione centrifuga e di Coriolis. La forza totale che agisce sulla formica considerando solo i moduli dei vettori è pari a:

    \[ F= m \omega^2 r + 2m \omega v\]

dove v è pari alla velocità relativa tra la formica ed il disco rotante.

formica_disco_rotante_sdr

Per avere attrito statico la forza di attrito deve bilanciare esattamente tutte le forze agenti sulla formica. La forza di attrito statico è pari a:

    \[R_a = m g \mu_s\]

La formica riesce a camminare senza slittare sul disco fintanto che vale la seguente disequazione:

    \[|\vec R_a| \ge  |\vec F| \]

Calcolando il modulo dei vettori ed esplicitando i termini si ottiene:

    \[ m  g \mu_s \ge (m^2  \omega^4  r_r^2 + 4m^2 \omega^2 v_r^2 )^{1/2} \]

Con qualche passaggio matematico è ora possibile esplicitare il termine incognito:

    \begin{align*} (g \mu_s)^2 \ge &   \omega^4  r_r^2 + 4 \omega^2 v_r^2  \\ r_r  \le &  \frac{ \sqrt{ (g \mu_s)^2 - 4 \omega^2 v_r^2 } }{\omega^2} \end{align}

Sostituiamo i valori numerici si ottiene:

    \[ r_r  \le   \frac{ \sqrt{ (9.81 m/s^2 \cdot 0.08)^2 - 4 \cdot (4.7 rad/s)^2 \cdot (0.01 m/s)^2 } }{(4.7 rad/s)^2} =  3.5 cm \]

La formica riesce a camminare senza slittare se la distanza dal centro del disco è inferiore a 3.5 cm. In questo caso la forza di attrito statico è uguale o superiore alla somma della forza centrifuga e di Coriolis causate dalla rotazione del disco.

Come avrai notato in questo esercizio non è stato importante scomporre i vettori forze sul sistema di coordinate. L’espressione che ha portato alla risoluzione del problema è basata infatti sui moduli dei vettori e pertanto le componenti cartesiane non sono necessarie.

 

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