Dinamica del punto materiale

Forza elastica

molla elastica

La forza elastica è direttamente proporzionale allo spostamento che subisce un punto materiale e deriva dalla proprietà dei corpi di deformarsi. La legge di Hooke definisce il legame tra spostamento e forza risultante

    \[\vec F_e=-k \vec x\]

Il segno negativo deriva dal verso discorde tra la forza e l’allungamento. Qualsiasi sia lo spostamento, la forza elastica reagisce in direzione opposta.

molla elastica

Il parametro k è noto come la costante elastica. Generalmente non si attribuisce la proprietà di elasticità direttamente al punto materiale. Si preferisce utilizzare una molla di costante elastica k e massa nulla che esercita la forza elastica sul punto materiale.

Equazioni del moto causate da una forza elastica

Ipotizziamo di avere una massa attaccata ad una molla. Definiamo un sistema di riferimento inerziale con un asse cartesiano x. L’origine del sistema di riferimento si trova nella posizione di riposo della molla, ossia dove la forza elastica è nulla. Per il secondo principio della dinamica si ottiene

    \[\vec F_e= m \vec a\]

Scalarizzando l’equazione scalare lungo l’asse x si ottiene:

    \[-k x=m a\]

Possiamo meglio scrivere l’equazione differenziale in questo modo

    \[\ddot x+ \omega^2 x= 0\]

avendo definito \omega^2 = \frac{k}{m}.

La precedente rappresenta un’equazione differenziale omogenea del secondo ordine, risolta la quale si ottiene:

    \[x(t)=A \cos(\omega t+\phi)\]

La soluzione è identica all’equazione del moto armonico. In presenza di condizioni iniziali non nulle, la massa si troverà ad oscillare perennemente attorno alla posizione di equilibrio della molla. Il sistema massa-molla viene anche chiamato oscillatore armonico.

Forza elastica conservativa

La forza elastica è una forza conservativa in quanto dipende solamente dalla posizione della massa m.

L’energia elastica immagazzinata nella molla è pari infatti all’energia potenziale che si trasforma in energia cinetica fino al raggiungimento del punto di inversione. Il moto quindi si inverte fino a raggiungere il punto di inversione opposto dando luogo all’oscillazione.

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