Energia e lavoro

Forze conservative

Le forze conservative sono definite tali perché conservano l’energia meccanica del sistema. Il lavoro compiuto dalle forze conservative non dipende dalla traiettoria seguita ma soltanto dalle posizioni iniziale e finale.

Le forze conservative ammettono energia potenziale. Tale energia dipende solamente dalla posizione della massa nello spazio. L‘integrale circolare di una forza conservativa sarà identicamente nullo. Un integrale circolare possiede i punti iniziale e finale, una traiettoria chiusa.

Definizione differenziale delle forze conservative

La definizione integrale non è operativa, cioè non permette di calcolare facilmente se una forza è conservativa o meno.  Teoricamente bisognerebbe eseguire l’integrale del lavoro per qualsiasi traiettoria che connetta due punti e verificare che non dipenda dal percorso seguito. A questa definizione integrale ne segue allora una differenziale. Per una forza conservativa le componenti lungo gli assi coordinati cartesiani sono uguali alle derivate parziali, cambiate di segno, rispetto alle variabili spaziali dell’energia potenziale:

    \[ F_x=-\frac{\partial U}{\partial x} \quad F_y=-\frac{\partial U}{\partial y} \quad F_z=-\frac{\partial U}{\partial z}\]

Introduciamo ora l’operatore differenziale \nabla:

    \[ F=-\nabla{U}\]

Le due definizioni, integrale e differenziale, necessitano in ogni caso dell’energia potenziale. Eseguendo invece una derivazione mista della definizione differenziale possiamo rendere l’espressione indipendente da U. Le derivate parziali miste sono indipendenti dall’ordine di derivazione. :

    \[ \frac{\partial F_x}{\partial y}=-\frac{\partial U}{\partial x\partial y} \quad \frac{\partial F_y}{\partial x}=-\frac{\partial U}{\partial y\partial x} \]

    \[ \frac{\partial F_x}{\partial z}=-\frac{\partial U}{\partial x\partial z} \quad \frac{\partial F_z}{\partial x}=-\frac{\partial U}{\partial z\partial x} \]

    \[ \frac{\partial F_y}{\partial z}=-\frac{\partial U}{\partial y\partial z} \quad \frac{\partial F_z}{\partial y}=-\frac{\partial U}{\partial z\partial y} \]

Possiamo quindi trovare delle equivalenze rimuovendo l’energia potenziale e considerando solo le componenti della forza:

    \[ \frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{\partial F_y}{\partial x} \quad \frac{\partial F_x}{\partial z}=\frac{\partial F_z}{\partial x} \quad \frac{\partial F_y}{\partial z}=\frac{\partial F_z}{\partial y}\]

Tale relazioni sono condizioni solamente necessarie. Per essere anche sufficienti occorre specificare che il campo su cui si integra la forma differenziale sia un intervallo aperto. Riportando l’ultima relazione in forma compatta ci serviamo dell’operatore differenziale rotore:

    \[ \nabla \times F=0\]

Un forza conservativa è irrotazionale.

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