Esercizi di meccanica classica

Corpo su guida circolare liscia. Giro della morte o no?

Giro della morte

Il testo del problema è il seguente:

Un corpo è diretto lungo una guida circolare verticale liscia. Il corpo ha una velocità iniziale di 15 m/s ed il raggio della guida è di  7 m.

Calcolare il punto punto lungo la guida circolare in cui il corpo perde aderenza con la superficie e cade.

Ti consiglio di leggere molto attentamente il problema ed di immaginarti la situazione fisica. Il problema in esame non è molto complicato e risulta abbastanza facile immaginarsi la situazione.

Guida circolare

Questo è uno dei punti più sottovalutati quando si tratta di risolvere un problema di meccanica classica. Spesso infatti una scarsa interpretazione del testo può far sbagliare completamente l’esercizio. Mi raccomando se stai sostenendo una prova di esame leggi attentamente il testo più volte prima di prendere la penna in mano.

Ti invito a risolvere da solo l’esercizio. Prenditi il tuo tempo Segui i passi su come risolvere un esercizio di meccanica classica. Mi raccomando di avere particolare attenzione per il disegno. La scelta del sistema di coordinate e del verso dei vettori è fondamentale.

Disegno della guida circolare

La definizione del sistema di coordinate è cruciale per questo esercizio. Stabiliamo un sistema di coordinate tangenziale e normale alla guida circolare. L’asse normale è sempre normale alla guida e diretto verso il centro della guida stessa. L’asse tangenziale è perpendicolare al primo e nel verso del moto del corpo.

Guida circolare con forze

Inseriamo ora tutte le forze agenti sul corpo per una generica posizione. La guida è liscia, quindi non presenta nessuna forza di attrito. Sul corpo agiscono solamente la forza peso e la reazione normale della guida. La reazione normale è ovviamente normale alla guida circolare e cambia istantaneamente mentre il corpo si muove.

Equazioni del moto

Scriviamo le equazioni della dinamica considerando una generica posizione del corpo lungo la guida.

    \[ \vec{F_p} + \vec{N} = m \vec{a} \]

Possiamo scalarizzare la precedente relazione lungo il sistema di coordinate.

    \[ \begin{cases} mg\sin\theta + N & = m a_r \\ mg\cos\theta& = m a_\theta \end{cases} \]

Sapendo che la guida è circolare, fintanto che il corpo rimane attaccato alla guida si muoverà di moto circolare. Possiamo quindi esprimere l’accelerazione centripeta come:

    \[ a_r = \frac{v^2}{R}\]

Da notare che questa accelerazione è centripeta in quanto punto verso il centro di curvatura della traiettoria del corpo.

Sostituendo l’accelerazione radiale nell’equazione della dinamica si ottiene l’espressione della reazione normale.

    \[ N & = m\Big( \frac{v^2}{R} - g\sin\theta \Big)  \]

La reazione normale che la guida esercita sul corpo cambia istantaneamente in funzione della posizione lungo la guida stessa e della velocità del corpo.

Giro della morte o no?

Quando la reazione normale diventa nulla il corpo perde aderenza con la guida. Dall’ultima relazione possiamo quindi ricavare la posizione angolare del corpo lungo la guida circolare nel momento in cui perde aderenza.

    \[ \theta = \arcsin \Big( \frac{g{v^*}^2}{R} \Big) \]

In questa equazione ci sono due incognite: la velocità del corpo nel momento della separazione dalla guida e l’angolo. Abbiamo bisogno quindi di un’altra equazione.

Calcoliamo il lavoro meccanico compiuto da tutte le forze fino al momento in cui il corpo perde aderenza con la guida:

    \[ L = \int_0^h -mg ds = -mgh \]

dove h è lo spostamento verticale. Considerando il raggio della guida circolare possiamo definire l’altezza come:

    \[ h = R(1-\cos\theta) \]

Utilizzando ora il teorema del lavoro e dell’energia cinetica tra la posizione iniziale e la posizione di distacco dalla guida si ottiene:

    \[ -mgR(1-\cos\theta) = \frac{1}{2}m({v^*}^2 - v_0^2) \]

Mettiamo a sistema le due equazioni per calcolare le incognite:

    \[\begin{cases} -gR(1-\cos\theta) &= \frac{1}{2}({v^*}^2 - v_0^2) \\ \frac{{v^*}^2}{R} + g\cos\theta &= 0 \end{cases} \]

Con qualche passaggio matematico valutiamo l’angolo in cui il corpo si distacca dalla guida circolare.

    \[ \theta = \arccos \Big[ \frac{2}{3}\Big(1-\frac{v_0^2}{2gR} \Big) \Big] \]

Sostituiamo i valori numerici e otteniamo:

    \[ \theta = \arccos \Big[ \frac{2}{3}\Big(1-\frac{ 225 m^2/s^2 }{2\cdot  9.81 m/s^2 \cdot 7m } \Big) \Big] =  2.01 rad = 115^\circ \]

Perdita di aderenza del corpo sulla guida circolare
Il corpo non riesce quindi ad effettuare un completo giro della morte, perde aderenza con la guida e cade come un grave.

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