Termodinamica Applicata

Il problema del metanodotto

metanodotto

Il problema del metanodotto è lo studio di un condotto di sezione costante dove scorre un fluido considerato comprimibile. Si tratta di una versione molto generalizzata dell’equazione di Bernoulli. Scrivendo il primo principio della termodinamica per sistemi aperti abbiamo:

(1)   \begin{equation*}dh+dh_a+v dp+g dz+w dw=0\end{equation*}

Le ipotesi per il problema del metanodotto sono:

  • variazione dell’energia potenziale trascurabile;
  • attrito distribuito e niente attriti localizzati;
  • densità variabile;
  • entalpia costante;
  • ipotesi di gas perfetto.

Sotto tali ipotesi possiamo scrivere:

(2)   \begin{equation*}\frac{dh_a}{g}=\lambda \frac{w^2 dx}{2 gD}\end{equation*}

dove \lambda è il coefficiente di attrito distribuito, w=Gv/S la velocità assiale del fluido, G la portata di massa, v il volume specifico e S la sezione del condotto.

(3)   \begin{equation*}vdp=R T \frac{d \rho}{\rho}\end{equation*}

dove rho è la densità ed R la costante universale dei gas perfetti. Ora possiamo scrivere l’equazione nel seguente modo:

(4)   \begin{equation*}BTdx+pdp-AT\frac{d\gamma}{\gamma}=0\end{equation*}

dove A=(G/S)^2 R e B=A \lambda/(2D)

Trasformazioni termiche e metanodotto

Ora è possibile integrare l’equazione per diverse trasformazioni. Se assumiamo il transito del fluido nel condotto come una trasformazione isoterma scriveremo:

(5)   \begin{equation*}B T L+\frac{(p_2)^2-(p_1)^2}{2}+AT\log(\gamma_2/\gamma_1)=0\end{equation*}

Se supponiamo la trasformazione adiabatica, quindi senza scambio di calore con l’esterno avremmo:

(6)   \begin{equation*}BL+\frac{(p_1)^\alpha}{T_1(2-\alpha)} ((p_2)^{2-\alpha}-(p_1)^{2-\alpha})-\frac{A}{k \log(p_2/p_1)}=0\end{equation*}

dove \alpha=\frac{k-1}{k} e k=c_p/c_v

Se ipotizziamo uno scambio di calore regolato dalla seguente legge T=T_0+Ce^{-\alpha x} allora l’espressione diventa:

(7)   \begin{equation*}\int A T_0+C e^{-\alpha x} dx+\int  p dp+\int A dT=0\end{equation*}

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