Termodinamica Applicata

Il problema della parete

problema della parete

Con il problema della parete si intende l’analisi della conduzione di calore in regime non stazionario all’interno di una parete con moto unidirezionale.

Consideriamo un flusso di calore normale ad una certa superficie, la parete, ma con andamento variabile nel tempo. Assumiamo la parete di un camino, la parete inizia a scaldarsi con andamento variabile nel tempo fino a raggiungere una situazione stazionaria. Tale condizione equivale ad temperatura di equilibrio termodinamico.
Partiamo dall’equazione generale della conduzione di calore e consideriamo la conduzione unidirezionale:

(1)   \begin{equation*}\rho c_v \frac{\partial T}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x}(k \frac{\partial T}{\partial x})\end{equation*}

Possiamo considerare la temperatura come prodotto di due termini, di cui uno funzione solo del tempo e l’altro solo dello spazio.

(2)   \begin{equation*}T=\theta(t) X(x)\end{equation*}

Sostituendo l’espressione di T nella prima equazione arriviamo a:

(3)   \begin{equation*}X(x)\frac{d \theta}{dt}=\alpha \theta(t) \frac{d^2X}{dx^2}=-\lambda^2\end{equation*}

L’ultimo termine rappresenta una costante. Infatti il primo ed il secondo termine devono essere numericamente sempre uguali. Il segno meno deriva da considerazioni fisiche. Se non lo aggiungessimo avremmo una relazione finale discordante con il  

Andamento della temperatura

Ora possiamo risolvere le due equazioni differenziali, la prima:

(4)   \begin{equation*}\frac{d\theta}{dt}\frac{1}{\theta} = -\alpha \lambda^2\end{equation*}

(5)   \begin{equation*}\theta(t)=ce^{-\alpha \lambda^2}\end{equation*}

Mentre la seconda:

(6)   \begin{equation*}\frac{1}{X}\frac{d^2X}{dx}=-\lambda^2\end{equation*}

(7)   \begin{equation*}X(x)=A\sin(\lambda x)+B\cos(\lambda x)\end{equation*}

Unendo le due espressioni trovate otteniamo l’andamento della temperatura nella parete in funzione del tempo e dello spazio:

(8)   \begin{equation*}T(t,x)=c e^{-\alpha \lambda^2} \left(A \sin(\lambda x)+B \cos(\lambda x) \right)\end{equation*}

La caratteristica temporale del problema della parete va estinguendosi con l’aumentare del tempo. Se invece ci fosse stato un segno positivo avremmo avuto una temperatura che sarebbe aumentata all’infinito con l’avanzare del tempo…cosa poco credibile.
Ovviamente l’equazione deve essere completata con le relative relazioni al contorno per determinare le costanti.

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