Termodinamica Applicata

Il problema dell’aletta

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Il problema dell’aletta è un problema di scambio termico tra un’aletta rettangolare ad una temperatura maggiore dell’aria circostante. L’aletta ha una sezione A con perimetro p, una conduttività termica k e una lunghezza L. Mentre il fluido circostante ha un coefficiente di scambio convettivo h ed è ad una temperatura uniforme e costante.
Le ipotesi introdotte per tale trattazione sono:

  • temperatura della base dell’aletta e del fluido costanti;
  • coefficiente h e k costanti;
  • sezione e perimetro costanti;
  • conduzione unidirezionale (lungo l’asse x dell’aletta);

Considerando un tratto infinitesimo dell’aletta e facendo un bilancio termico avremmo:

(1)   \begin{equation*}q_x=q_c+q_{x+dx}\end{equation*}

Dove il primo termine è il calore dalla base verso l’estremità dell’aletta. Il secondo termine è il calore dissipato per convezione e il terzo il calore trasmesso dal tratto dx al resto dell’aletta. Introducendo l’equazione costitutiva di Fourier per la conduzione unidirezionale, ossia q=-k A \frac{dT}{dx}, otteniamo:

(2)   \begin{equation*}-kA\left( \frac{dT}{dx} \right)_x=hp(T-T_e)-kA\left( \frac{dT}{dx} \right)_{x+dx}\end{equation*}

Introducendo la variabile \theta=T-T_e e con semplici passaggi otteniamo:

(3)   \begin{equation*}\frac{ kS\left( \frac{dT}{dx} \right)_{x+dx}-kS\left( \frac{dT}{dx} \right)_x}{dx}=hp \theta\end{equation*}

che diventa:

(4)   \begin{equation*}\frac{d^2 \theta}{dx^2}-m^2 \theta=0\end{equation*}

dove m^2=\frac{hp}{kS}
L’equazione differenziale del secondo ordine ha come soluzione generale:

(5)   \begin{equation*} \theta=Ae^{mx}+Be^{-mx}\end{equation*}

 

Condizioni al contorno

Arrivati a questo punto ci sono tre possibili condizioni al contorno da imporre al problema per determinare le costanti A e B.

1)Soluzione con aletta infinitamente lunga.

Per x=\infty ,T=T_e, e con semplici passaggi arriviamo all’espressione:

(6)   \begin{equation*}\theta=\theta_0 e^{-mx}\end{equation*}

dove \theta_0=T_0-T_e

Per valutare il calore disperso dall’aletta dovremmo calcolare il calore che fluisce dalla base dell’aletta, quindi:

(7)   \begin{equation*}q_c=-kS\frac{dT}{dx}_{x=0}=kSm\theta_0=\sqrt{hpkS} \theta_0\end{equation*}

2)Soluzione con aletta isolata all’estremità.

In qualette di raffreddamento di un processoreesto caso la seconda condizione al contorno diventa x=L , (-kS\frac{dT}{dx})=0. Attraverso qualche passaggio matematico e ricordando la definizione di coseno e seno iperbolico \sinh(x)=(e^x-e^{-x})/2 \cosh(x)=(e^x+e^{-x})/2
arriviamo all’espressione

(8)   \begin{equation*}\theta=\theta_0 \frac{\cosh(m (x-L)) }{\cosh(mL}\end{equation*}

Mentre il calore scambiato dall’aletta è:

(9)   \begin{equation*}q_c=-k S \frac{dT}{dx}_{x=0}=\theta_0 \sqrt{kShp}\tgh{mL}\end{equation*}

3)Soluzione con aletta finita.

In questo caso la seconda condizione al contorno si trasforma in x=L, (-kS\frac{dT}{dx})=h_e S (T_L-T_e), con rapidi passaggi arriviamo all’espressione generale:

(10)   \begin{equation*}\theta=\theta_0\frac{ \cosh(m(x-L))+h_e/(mk) \sinh(m (x-L))}{\cosh(mL)+h_e/(m k) \sinh(mL)}\end{equation*}

Il calore disperso dall’aletta risulta essere:

(11)   \begin{equation*}q_c=-kS\frac{dT}{dx}_{x=0}=\theta_0 m k S (h_e/(m k)+\tgh(mL))/(1+h_e/(mk) \tgh(mL))\end{equation*}

Considerazione importanti possono riguardare la convenienza dell’aletta e l’efficienza dell’aletta. La prima risulta essere il rapporto tra il calore dissipato dall’aletta e quello dissipato dalla superficie senza aletta e risulta:

(12)   \begin{equation*}C=\frac{h_e/(mk)+\tgh(mL)}{h_e/(mk)+(h_e/(mk))^2 \tgh(mL)}\end{equation*}

Possiamo vedere che se questa espressione risulta maggiore di 1 c’è convenienza nel mettere l’aletta; in particolare se h_e/(mk)è minore di 1.

Per l’efficienza invece dovremmo confrontare il flusso termico ceduto dall’aletta e il flusso termico che l’aletta scambierebbe se si trovasse tutta alla temperatura della base. Con un semplice rapporto arriviamo all’espressione:

(13)   \begin{equation*}\Omega=\frac{\tgh(mL)}{mL}\end{equation*}

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