Esercizi di meccanica classica

Massa cade su una molla verticale. Quanto tempo ci mette a toccare il terreno?

molla verticale

Il testo del problema è il seguente:

Una corpo con un massa di 2.3 kg viene lasciato cadere da un’altezza h=2 m sopra una molla verticale. La molla ha una costante elastica pari a k = 50 Nm e una lunghezza a riposo di 20 cm.

Calcolare quanto tempo impiega la massa a toccare il suolo.

Questo è uno dei punti più sottovalutati quando si tratta di risolvere un problema di meccanica classica. Spesso infatti una scarsa interpretazione del testo può far sbagliare completamente l’esercizio. Mi raccomando se stai sostenendo una prova di esame leggi attentamente il testo più volte prima di prendere la penna in mano.

Ti invito a risolvere da solo l’esercizio. Prenditi il tuo tempo Segui i passi su come risolvere un esercizio di meccanica classica. Mi raccomando di avere particolare attenzione per il disegno. La scelta del sistema di coordinate e del verso dei vettori è fondamentale.

Disegno della massa e della molla verticale

La prima cosa da fare è una rappresentazione grafica del problema.

molla verticale forze

Il moto avviene solo verticalmente, possiamo quindi definire un sistema di coordinate con un solo asse z.
Abbiamo introdotto anche la forza peso e la forza elastica della molla.

Equazioni del moto

Per risolvere il problema dobbiamo separare la dinamica in due parti. Inizialmente la massa è infatti soggetta solamente alla forza peso e la molla non subisce alcuna azione.
L’equazione dinamica del corpo è quindi pari a:

    \[ \vec{F_p} = m\vec{a} \]

Scalarizzando l’equazione lungo l’asse z si ottiene

    \[ -mg = m\ddot{z} \]

Il primo tratto del moto è un grave soggetto all’accelerazione di gravità.
La massa percorre una distanza pari a d=h-l_0 prima di impattare la molla. Possiamo calcolare la velocità con cui la massa impatta la molla.

Integriamo due volte l’equazione della dinamica e otteniamo le espressioni di velocità e spostamento lungo z:

    \[ \begin{cases} \dot{z}(t) &= -gt \\ z(t) & = -g\dfrac{t^2}{2}+h \end{cases} \]

Dobbiamo ora calcolare il tempo in cui la massa raggiunge la molla.

    \begin{align*} z(t^*) = l_0 & =-g\dfrac{{t^*}^2}{2}+h\\  t^* & = \sqrt{\dfrac{2(h-l_0)}{g}} \end{align*}

Sostituendo i valori numerici si ottiene:

    \[ t^* = \sqrt{\dfrac{2(\SI{2}{m}-\SI{0.2}{m})}{\SI{9.81}{m/s^2}}}= \SI{0.61}{s} \]

Possiamo ora sostituire il tempo trovato nell’espressione della velocità e ottenere l’espressione della velocità nel momento in cui il corpo impatta la molla.

    \[ v_i= \dot{z}(t^*) = \sqrt{2g(h-l_0)} \]

Impatto con la molla

Dopo la caduta libera, la massa impatta con la molla. Le equazioni della dinamica sono a questo punto diverse perché ora anche la forza elastica agisce sulla massa.

    \[ -mg - k(z-l_0)= m\ddot{z} \]

Riscriviamo la precedente considerando la pulsazione del sistema \omega^2 = \dfrac{k}{m} = \dfrac{\SI{50}{N/m}}{\SI{2.3}{kg}}=\SI{21.7}{s^{-2}}:

    \[ \ddot{z} + \omega^2 z = -g+l_0\omega^2 \]

Dobbiamo ora valutare l’equazione del moto del corpo attaccato alla molla.

Si tratta di un oscillatore armonico soggetto alla forza peso. Possiamo calcolare la soluzione generale dell’equazione differenziale come un normale oscillatore ormonico a cui dobbiamo aggiungere la soluzione particolare.

    \[ z(t) = z_g(t) + z_p(t) \]

La soluzione generale si ottiene risolvendo l’equazione differenziale omogenea. Per la soluzione particolare si ipotizza una soluzione costante.

    \begin{align*} z_g(t) &= A\cos(\omega t + \phi) \\ z_p &=- \dfrac{g}{\omega^2} +l_0 \end{align*}

La legge oraria del sistema è pari a:

    \[ z(t) = l_0 -\dfrac{g}{\omega^2} + A\cos(\omega t + \phi) \]

Dobbiamo ora valutare le costanti di integrazione utilizzando le condizioni iniziali. Consideriamo il tempo zero il momento in cui la massa impatta con la molla.

    \[ \begin{cases} z(0)& = l_o \\ \dot{z}(0) &=v_i= \sqrt{2g(h-l_0)} \end{cases} \]

Con qualche passaggio matematico esplicitiamo il valore delle costanti di integrazione:

    \[ \begin{cases} \phi & = \arctan\left[ -\dfrac{\sqrt{2g(h-l_0)}\omega}{ g}\right] \\ A & = \dfrac{g}{\omega^2}\dfrac{1}{\cos \phi} \end{cases} \]

Sostituendo i valori numerici si ottiene:

    \[ \begin{cases} \phi & = \arctan\left[ -\dfrac{\sqrt{2 \cdot \SI{9.81}{m/s^2} \cdot(\SI{2}{m}-\SI{0.2}{m})}\cdot \sqrt{\SI{21.7}{s^{-2}} }}{\SI{9.81}{m/s^2}}\right] = -1.23 \\ & \\ A & = \dfrac{\SI{9.81}{m/s^2}}{\SI{21.7}{s^{-2}} } \dfrac{1}{{\cos(-1.23)}}=\SI{1.35}{m} \end{cases} \]

Calcoliamo ora l’istante di tempo in cui la massa va in contatto con il terreno.

    \[ z(t_i) = 0= l_0 -\frac{g}{\omega^2} + A\cos(\omega t_i + \phi) \]

Con alcuni passaggi matematici si può esplicitare il termine:

    \[ t_i =\left[ \arccos\left( \left(\dfrac{g}{\omega^2} -l_0 \right) \dfrac{1}{A}\right) -\phi\right] \dfrac{1}{\omega} \]

Sostituendo i valori numerici si ottiene il tempo che la massa impiega per comprimere completamente la molla ed impattare il terreno.

    \[ t_i =\left[ \arccos\left( \left( \dfrac{\SI{9.81}{m/s^2}}{\SI{21.7}{1/s^2} } - \SI{0.2}{m} \right) \cdot \dfrac{1}{\SI{1.35}{m} }\right) +1.01\right] \dfrac{1}{\sqrt{\SI{21.7}{s^{-2}}} } = \SI{0.53}{s} \]

Quanto tempo impiega la massa a toccare il suolo?

Nella prima parte della caduta la massa impiega 0.61 s a raggiungere la molla.

A questo punto il corpo impatto contro la molla verticale ed impiega altri 0.53 s per percorre i rimanenti 20 cm e toccare il suolo.

In totale la massa cade per un tempo pari a:

    \[ t_{tot} = t^* + t_i = \SI{0.61}{s} + \SI{0.53}{s} = \SI{1.14}{s} \]

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