Cinematica

Moto circolare

Moto circolare

Il moto circolare uniforme descrive il movimento di un punto materiale che percorre una traiettoria circolare con velocità costante.

Per descrivere correttamente la cinematica del sistema si considera un sistema di riferimento polare. Sia R il raggio vettore che collega il centro del cerchio con il punto materiale P. Lo spostamento angolare elementare è definito come \vec{d \theta}. Uno spostamento infinitesimo del vettore R è definito come:

    \[\vec{dR}=\vec{d \theta} \times \vec R \]

Si può calcolare la derivata rispetto al tempo della precedente equazione per determinare la legge della velocità lineare:

    \[\vec v=\vec{\frac{d \theta}{dt}} \times \vec R =\vec \omega \times \vec R\]

    \[ \vec{\frac{d \theta}{dt}}=\vec{\omega} \]

La velocità angolare \omega è definita come la variazione nel tempo dell’angolo \theta ed è espressa in radianti al secondo (rad/s). Valgono le stesse considerazioni sul periodo di oscillazione trattate nel moto armonico.

moto circolare

 

La condizione di moto circolare uniforme implica che la velocità angolare sia costante, quindi \omega=cost.

Derivando la velocità per arrivare all’accelerazione si ottiene la seguente espressione:

    \[\vec a =\vec{\frac{d  v}{dt}}  =\vec \omega \times \vec{\frac{d  R}{dt}}=\vec \omega \times (\omega \times \vec R) \]

L’accelerazione in un moto circolare uniforme è puramente normale alla direzione del moto. Risulta quindi orientata verso il centro della circonferenza.

Moto circolare uniformemente accelerato

Come per il moto rettilineo uniformemente accelerato si assume che l’accelerazione angolare sia costante. Ciò implica ovviamente che la velocità angolare possa variare nel tempo.

accelerazioni centripeta e tangenziale

Possiamo quindi derivare nuovamente l’equazione della velocità lineare e ottenere:

    \[\vec a=\vec a_n + \vec a_t= \vec \omega \times (\vec \omega \times \vec R)+ \vec{\dot \omega} \times \vec R\]

In questo caso abbiamo due contributi: l’accelerazione normale (o centripeta) \vec a_n e quella tangenziale \vec a_t. L’accelerazione angolare è definita invece come:

    \[\vec{ \dot \omega} = \vec{\frac{d \omega}{dt}} \]

Il moto circolare uniformemente accelerato viene spesso chiamato anche moto circolare non uniforme.

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