Cinematica

Moto parabolico

cannone

Il problema del tiro risale a millenni addietro nella storia, quando i calcoli servivano per puntare correttamente i cannoni per colpire le postazioni nemiche. Il problema consiste nel moto parabolico di un grave che descrive una traiettoria balistica.

A differenza del  semplice moto di un gravela velocità iniziale questa volta è inclinata rispetto alla verticale. Assumiamo un sistema di riferimento con l’asse y parallelo all’accelerazione di gravità. Le equazioni scalari delle accelerazioni sono definite come:

    \[a_x=\frac{dv_x}{dt}=0\]

    \[a_y=\frac{dv_y}{dt}=-g\]

Il moto avviene interamente sul piano x-y perciò non consideriamo neanche la terza dimensione.

moto parabolico

Possiamo ora integrare le precedenti e trovare le velocità nelle due direzioni:

    \[v_x=v_0_x=v_0 \cos \theta\]

    \[ v_y=-gt+v_y=-gt+v_0 \sin \theta\]

Abbiamo scalarizzato la velocità iniziale lungo i due assi cartesiani del sistema di riferimento. L’angolo \theta rappresenta l’inclinazione iniziale del proiettile. Integrando ancora si ottiene lo spostamento del punto materiale definito come:

    \[x(t)=v_0 \cos \theta t+x_0 \]

    \[y(t)=-\frac{g t^2}{2}+v_0 \sin \theta t+y_0\]

Moto parabolico del proiettile

Per semplificare le equazioni possiamo considerare il sistema di riferimento centrato in x_0 e y_0. In questo modo i due contributi spariscono dalle equazioni del moto in quanto nulli. Possiamo ora esplicitare la variabile tempo dall’equazione del moto lungo l’asse x e sostituirla nell’equazione lungo l’asse y. Si determina cosi l’equazione della traiettoria del proiettile:

    \[y= \frac{g}{2 v_0^2  {\cos \theta}^2} x^2+x \tg \theta \]

L’equazione descrive una parabola con concavità verso il basso, da qui il nome di moto parabolico. Con queste equazioni risulta facile determinare altre importanti variabili come la gittata massima, l’altezza massima e la parabola di sicurezza.

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