Cinematica

Moto relativo

solar system

Il moto relativo è frutto del principio fondamentale di Galileo, secondo cui è possibile descrivere lo stesso fenomeno attraverso sistemi di riferimento diversi ed in moto relativo tra loro.

Consideriamo un sistema di riferimento fisso (x,y,z) ed uno in moto roto-traslatorio (x’,y’,z’) che descrivono il moto di un punto materiale P. La posizione del punto P nel sistema di riferimento fisso è \vec r_a. La posizione dello stesso punto nel sistema mobile è \vec T+ \vec r ossia la distanza tra l’origine del sistema fisso e del sistema mobile più la posizione relativa del punto P rispetto al sistema mobile.

    \[\vec r_a=\vec T+\vec r_r\]

 

moto relativo

Possiamo ora determinare la velocità e poi l’accelerazione effettuando le rispettive derivate rispetto al tempo. La derivata prima del vettore posizione genera:

    \[\vec v_a=\vec v_t+\vec v_r\]

I pedici stanno rispettivamente per assoluta, trascinamento e relativa. La velocità di trascinamento è a sua volta divisa in velocità di traslazione e velocità di rotazione del sistema di riferimento mobile:

    \[\vec v_t=\vec v_{tr}+\vec \omega \times \vec r_r\]

Accelerazioni nel moto relativo

Per calcolare l’accelerazione del punto P nel sistema di riferimento assoluto (o fisso) si deriva l’equazione della velocità:

    \[\vec a_a=\vec a_t+\vec a_r+\vec a_{cor}\]

L’accelerazione assoluta è uguale alla somma dell’accelerazione di trascinamento, relativa e di Coriolis.

L’accelerazione di trascinamento può essere scomposta in tre differenti contributi: accelerazione di traslazione, accelerazione tangenziale e centripeta. Gli ultimi due contributi sono gli stessi termini ricavati nel moto circolare.

    \[\vec a_t=\vec a_{tr} +\vec a_{tan}+\vec a_{cen}=\vec a_{tr}+\vec{ \dot \omega} \times \vec r_r+\vec \omega \times(\vec \omega \times \vec r_r)\]

L’accelerazione di Coriolis è definita come:

    \[\vec a_{cor}=2 \vec \omega \times \vec v_r\]

Riassumendo tutti i termini l’accelerazione assoluta può essere definita come somma di tutti i contributi presenti nel sistema di riferimento relativo ( o mobile) come:

    \[\vec a_a=\vec a_t+\vec{ \dot \omega} \times \vec r+\vec \omega \times(\vec \omega \times \vec r)+\vec a_r+2\vec \omega \times \vec v_r\]

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