Dinamica del punto materiale

Oscillatore armonico e forza peso

Come si comporta un oscillatore armonico quando viene applicata la forza peso prodotta dalla gravità? Analizziamo un oscillatore armonico non smorzato su cui agisce la forza peso. Assumiamo un sistema di riferimento inerziale con l’asse delle x positivo verso il basso e scalarizziamo le forze agenti sulla massa:

    \[ m \ddot{x} +kx=mg\]

L’equazione differenziale di secondo ordine non è omogenea ma ha anche un termine noto. La soluzione dell’equazione omogenea associata l’abbiamo già trovata nell’analisi di un oscillatore armonico non smorzato. A questa soluzione dobbiamo aggiungere la soluzione particolare dell’equazione differenziale:

    \[ x(t)=x_o+x_p=A \cos(\omega t +\phi)+x_p\]

Condizioni iniziali

Siccome il termine noto è costante assumiamo una soluzione costante x_p=B. Sostituiamo tale soluzione nell’equazione dinamica e otteniamo:

    \[\omega^2 B=g\]

    \[B=\frac{g}{\omega^2}\]

Abbiamo quindi calcolato l’equazione del moto dell’oscillatore armonico soggetto a forza peso:

    \[x(t)=\frac{g}{\omega^2}+A \cos(\omega t +\phi)\]

Imponendo delle condizioni iniziali possiamo trovare la costante A incognita:

animazione di un oscillatore non smorzato

Come si vede dall’equazione lo spostamento verticale è costituito da un termine oscillatorio e da un termine costante dovuto al contributo della forza peso. La posizione di equilibrio è quindi spostata verso il basso rispetto alla posizione di equilibrio di un semplice sistema massa molla senza forza peso.

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