Un oscillatore meccanico non smorzato è composto da una massa e una molla. Tale sistema rappresenta un sistema meccanico ad 1 grado di libertà con una rigidezza finita e senza la presenza di smorzamento o attrito.
Studiamo il semplice sistema pensando applicata alla massa solo la forza elastica della molla. Si scalarizza l’equazione della dinamica lungo l’asse delle x come segue:
Si ottiene un’equazione differenziale del secondo ordine omogenea che possiamo scrivere in forma più compatta come:
dove rappresenta la pulsazione del sistema.
Frequenza naturale del sistema
Assumiamo una soluzione esponenziale del tipo . Sostituiamo ora tale espressione nell’equazione delle dinamica dell’oscillatore:
Possiamo quindi esplicitare l’autovalore ed ottenere:
L’autovalore è pari quindi alla frequenza naturale del sistema ed è un numero immaginario, infatti . La soluzione si può esprimere in forma esponenziale e, grazie alla trasformazione di Eulero, anche in forma sinusoidale:
con la fase iniziale ed A l’ampiezza del moto. Basterà ora imporre le condizioni iniziali per trovare il valore della costante.
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