Dinamica del punto materiale

Oscillatore non smorzato

Un oscillatore meccanico non smorzato è composto da una massa e una molla. Tale sistema rappresenta un sistema meccanico ad 1 grado di libertà con una rigidezza finita e senza la presenza di smorzamento o attrito.

Studiamo il semplice sistema pensando applicata alla massa solo la forza elastica della molla. Si scalarizza l’equazione della dinamica lungo l’asse delle x come segue:

    \[m \ddot x+kx=0\]

Si ottiene un’equazione differenziale del secondo ordine omogenea che possiamo scrivere in forma più compatta come:

    \[ \ddot x+\omega^2 x=0\]

dove \omega^2=\frac{k}{m} rappresenta la pulsazione del sistema.

Frequenza naturale del sistema

Assumiamo una soluzione esponenziale del tipo x(t)=Ae^{\lambda t}. Sostituiamo ora tale espressione nell’equazione delle dinamica dell’oscillatore:

    \[ A\lambda^2 e^{\lambda t} + \omega^2 A e^{\lambda t}=0\]

Possiamo quindi esplicitare l’autovalore ed ottenere:

    \[\lambda^2=-\omega^2\]

oscillatore armonico non smorzato

L’autovalore è pari quindi alla frequenza naturale del sistema ed è un numero immaginario, infatti \lambda=i \omega. La soluzione si può esprimere in forma esponenziale e, grazie alla trasformazione di Eulero, anche in forma sinusoidale:

    \[ x(t)=Ae^{i \omega t}=A \cos(\omega t+\phi)\]

con \phi la fase iniziale ed A l’ampiezza del moto. Basterà ora imporre le condizioni iniziali per trovare il valore della costante.

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