Termodinamica Applicata

Parametri concentrati di sistemi composti

Parametri concentrati di sistemi composti

Con l’approssimazione dei parametri concentrati possiamo studiare la storia nel tempo della temperatura anche di sistemi complessi. Consideriamo un recipiente contenente un fluido ad una temperatura T_1 lambito esternamente da un altro fluido a temperatura T_\infty. Impostiamo due bilanci termici tra i due fluidi interni ed esterni. Per il fluido interno:

(1)   \begin{equation*}-(c \rho V_1)_1 \frac{dT_1}{dt}=h_1 A_1 (T_1-T_2)\end{equation*}

Mentre per il recipiente avremmo:

(2)   \begin{equation*}-(c \rho V_2)_2 \frac{dT_2}{dt}=h_2 A_2 (T_2-T_\infty)-h_1 A_1 (T_1-T_2)\end{equation*}

Risolvendo le due equazioni differenziali si ottiene l’andamento nel tempo della temperatura per i due corpi, il fluido interno ed il recipiente. Riscrivendo entrambe le equazione si ottiene:

(3)   \begin{equation*}(D+\frac{h_1 A_1}{c_1 \rho_1 V_1}) T_1-\frac{h_1 A_1}{c_1 \rho_1 V_1}T_2=0\end{equation*}

(4)   \begin{equation*}-\frac{h_1 A_1}{c_2 \rho_2 V_2}T_1+(D+ \frac{h_1 A_1+h_2 A_2}{c_2 \rho_2 V_2})T_2=\frac{h_2 A_2}{c_2 \rho_2 V_2}T_\infty\end{equation*}

dove il simbolo D indica la differenziazione rispetto al tempo.
Ponendo K_1=\frac{h_1 A_1}{c_1 \rho_1 V_1} , K_2=\frac{h_1 A_1}{c_2 \rho_2 V_2} , e K_3=\frac{h_2 A_2}{c_2 \rho_2 V_2} otteniamo:

(5)   \begin{equation*}(D+K_1) T_1-K_1 T_2=0\end{equation*}

(6)   \begin{equation*}-K_2 T_1+(D+K_2+K_3) T_2=K_3 T_\infty\end{equation*}

Integrale generale dei parametri concentrati

Risolvendo a sistema si ottiene la seguente equazione differenziale:

(7)   \begin{equation*}(D^2+(K_1+K_2+K_3) D+K_1 K_3) T_1=K_1 K_3 T_\infty\end{equation*}

l’integrale generale vale:

(8)   \begin{equation*}T=T_\infty+M e^{m_1 t}+N e^{m_2 t}\end{equation*}

dove

(9)   \begin{equation*}m_1=\left( -(K_1+K_2+K_3)+\sqrt{(K_1+K_2+K_3)^2-4 K_1 K_3)\right)\frac{1}{2}\end{equation*}

(10)   \begin{equation*}m_2=\left(-(K_1+K_2+K_3)-\sqrt{(K_1+K_2+K_3)^2-4 K_1 K_3)\right)\frac{1}{2}\end{equation*}

Le costanti M ed N si determinano imponendo le condizioni al contorno, e la temperatura T_2 si trova sostituendo la T_1 in una delle equazioni del sistema precedente.

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