Esercizi di meccanica classica

Piano inclinato con attrito, la massa rimane ferma o scivola indietro?

Piano inclinato scabro

Studiamo un semplice esercizio di meccanica classica di un piano inclinato con attrito. Il testo del problema è il seguente:

Una massa sale lungo un piano inclinato di 15°. Il piano è scabro e presenta un coefficiente di attrito statico \mu_s = 0.35 e un coefficiente di attrito dinamico \mu_d = 0.25. La massa viene fatta salire lungo il piano inclinato con una velocità iniziale di 10 m/s diretta parallela al piano stesso. Calcolare:

  1. dove e quando si ferma la massa
  2. se, una volta fermata, rimane in equilibrio o torna indietro lungo il piano inclinato.

Ti consiglio di leggere molto attentamente il problema ed di immaginarti la situazione fisica. Il problema in esame non è molto complicato e risulta abbastanza facile immaginarsi la situazione.

Questo è uno dei punti più sottovalutati quando si tratta di risolvere un problema di meccanica classica. Spesso infatti una scarsa interpretazione del testo può far sbagliare completamente l’esercizio. Mi raccomando se stai sostenendo una prova di esame leggi attentamente il testo più volte prima di prendere la penna in mano.

Ti invito a risolvere da solo l’esercizio. Prenditi il tuo tempo Segui i passi su come risolvere un esercizio di meccanica classica. Mi raccomando di avere particolare attenzione per il disegno. La scelta del sistema di coordinate e del verso dei vettori è fondamentale.

Disegno del piano inclinato

Definiamo per prima cosa un sistema di coordinate cartesiano e rappresentiamo il problema fisico. Il sistema di coordinate è orientato con l’asse x parallelo al piano inclinato puntando verso l’alto. L’asse y è invece perpendicolare al primo e normale al piano inclinato. Nota bene che la velocità iniziale è orientata parallelamente al piano inclinato nella direzione positiva dell’asse x.

Piano inclinato scabro

Si introducono poi le forze agenti sulla massa m. La forza peso agisce verticalmente sulla massa. La forza di attrito si oppone allo spostamento della massa ed è orientata lungo la direzione negativa dell’asse x.

Forze sul piano inclinato scabro

Equazioni del moto

Scriviamo le equazioni della dinamica in forma vettoriale. Considerando tutte le forze agenti sulla massa m si ottiene:

    \[ \vec{F_p} + \vec{F_a} + \vec{N} = m\vec{a} \]

L’ultimo termine rappresenta la reazione normale del piano inclinato stesso. La massa non sprofonda infatti nel piano come la quotidianità ci suggerisce. Significa che il piano reagisce al peso della massa producendo una forza di reazione per il terzo principio della dinamica. Il piano può esercitare solamente una forza perpendicolare (normale) al piano stesso. Nel particolare caso del piano inclinato, tale forza di reazione non bilancia completamente la forza peso. Questo è il motivo per cui un oggetto su un piano inclinato si muove mentre su un piano orizzontale rimane in equilibrio.

Con la precedente equazione vettoriale non possiamo però utilizzare la matematica tradizionale. Ci conviene scalarizzare la precedente relazione lungo il sistema di coordinate che abbiamo definito. In questo modo la relazione vettoriale si trasforma in due relazioni scalari definite come:

    \[ \begin{cases} -mg\sin\theta - F_a = m\ddot{x} \\ -mg\cos\theta +N = 0\end{cases} \]

Sappiamo che lungo l’asse y non avviene nessun moto. Il moto infatti avviene interamente lungo l’asse x. L’accelerazione lungo y è pertanto nulla e la componente della forza peso lungo y è bilanciata dalla forza normale:

    \[ N = mg\cos\theta \]

Conoscendo la relazione tra la reazione normale e la forza di attrito di Coulomb si ottiene:

    \[ F_a = \mu_d mg\cos\theta \]

Stiamo qui analizzando il primo quesito del problema. Sappiamo che la massa si sta muovendo con un velocità iniziale. Il coefficiente di attrito da utilizzare in questa situazione è quindi quello dinamico. L’equazione della dinamica lungo l’asse x vale quindi:

    \[m\ddot{x} = m\dot{v_x} =-mg\sin\theta - \mu_d mg\cos\theta \]

Dove si ferma la massa lungo il piano?

Possiamo ora integrare la precedente relazione per calcolare la relazione della velocità. Negli estremi di integrazione degli integrali abbiamo considerato la velocità iniziale al tempo zero e una generica velocità ad un generico tempo.

    \begin{align*} \int_{v_0}^{v(t)} dv &= \int_{0}^{t} \left( -g\sin\theta - \mu_d g\cos\theta \right) dt \\ v(t)  &=  \left( -g\sin\theta - \mu_d g\cos\theta \right) t  + v_0\end{align*}

Integrando ancora si ottiene l’espressione dello spostamento lungo l’asse x. Gli estremi di integrazione questa volta sono la posizione iniziale della massa al tempo zero ed una generica posizione ad un generico tempo.

    \begin{align*}  \int_{x_0}^{x(t)} dx & = \int_{0}^{t} \left[ t \left( -g\sin\theta - \mu_d g\cos\theta \right)  + v_0 \right ]dt \\ x(t) &= \left( -g\sin\theta - \mu_d g\cos\theta \right) \frac{t^2}{2} + t v_0 + x_0  \end{align*}

L’origine del sistema di coordinate coincide con la posizione iniziale della massa. L’ultimo termine di spostamento è quindi pari a zero.

La massa ha velocità nulla quando raggiunge il punto più alto lungo il piano inclinato. Dalla relazione della velocità si ottiene quindi:

    \[ t^* =   \frac{-v_0}{\left( -g\sin\theta - \mu_d g\cos\theta \right) } \]

Utilizzando questo tempo possiamo calcolare lo spostamento percorso. Sostituiamo il tempo trovato nell’espressione dello spostamento e otteniamo:

    \begin{align*} x(t^*)  &=\frac{{v_0}^2}{2\left( -g\sin\theta - \mu_d g\cos\theta \right) } -\frac{{v_0}^2}{\left( -g\sin\theta - \mu_d g\cos\theta \right) }  \\ x(t^*)  & = - \frac{{v_0}^2}{2\left( -g\sin\theta - \mu_d g\cos\theta \right) } \end{align*}

Sostituiamo i valori numerici e le unità di misura e calcoliamo lo spostamento.

    \[ x(t^*)  =d= \frac{-100 m^2/s^2}{2\left( -9.81 m/s^2 \cdot \sin(0.349 rad) - 0.25\cdot 9.81 m/s^2\cdot  \cos(0.349 rad)\right) } = 10.2 m  \]

Da notare che l’inclinazione del piano è stata precedentemente convertita in radianti. La massa sale lungo il piano inclinato per più di 10 metri prima di fermarsi per effetto dell’attrito.

La massa scivola indietro?

Il secondo punto del problema chiede di verificare se la massa rimane ferma o torna indietro. Si tratta di valutare se la forza di attrito statico è in grado di bilanciare le altre forze agenti.

Attrito statico sul piano inclinato

La forza che spinge la massa a tornare indietro è la componente della forza peso agente lungo l’asse x. Se questa forza è minore della forza di attrito statico allora la massa rimane ferma in equilibrio.

    \begin{align*}  mg\sin\theta & \leq  \mu_s mg\cos\theta \\    \tan\theta & \leq   \mu_s \\  0.27 & \leq 0.35 \end{align*}

La forza di attrito statico è quindi maggiore della forza peso e la massa m rimane ferma sul piano inclinato dopo aver percorso una distanza di 10.2 metri.

Ma non era più semplice con un bilancio energetico?

Utilizzando le equazioni della dinamica siamo arrivati alla soluzione. È anche vero che abbiamo dovuto scrivere le relazioni vettoriali e scalari, svolgere diversi integrali e fare molti passaggi matematici. Utilizzando un bilancio energetico solitamente è molto più semplice.

Utilizziamo il teorema del lavoro e dell’energia cinetica. Calcoliamo prima la differenza di energia cinetica tra lo stato finale e quello iniziale.

    \[ \Delta T = T_f - T_0 = \frac{1}{2} m (v_f^2-v_0^2)\]

Consideriamo come istante finale il momento in cui la massa raggiunge la massima altezza. In questo istante la velocità risulta nulla e possiamo quindi esprime l’energia cinetica come:

    \[ \Delta T =- \frac{1}{2} m v_0^2\]

Calcoliamo ora il lavoro di tutte le forze agenti sulla massa:

    \[ dL= \vec{F}\cdot  d\vec{s} =(\vec{F_a} +\vec{F_p} + \vec{N} )\cdot  d\vec{s}  \]

La reazione normale non produce nessun lavoro in quanto la forza e lo spostamento sono perpendicolari. Il prodotto scalare è quindi nullo in quanto l’angolo tra i due vettori è di 90°. Integrando la precedente relazione calcoliamo il lavoro delle forze agenti sulla massa:

    \[ L= \int_0^d (-\mu m g \cos\theta  -mg\sin\theta  ) ds = (-\mu m g \cos\theta  -mg\sin\theta  )d \]

Per il teorema del lavoro e dell’energia cinetica il lavoro è uguale alla differenza di energia cinetica. Eguagliando le due espressioni si ottiene la stessa espressione dello spostamento trovata precedentemente:

    \begin{align*}  - \frac{1}{2} m v_0^2  & = (-\mu m g \cos\theta  -mg\sin\theta  ) d\\ d &=  - \frac{{v_0}^2}{2\left( -g\sin\theta - \mu_d g\cos\theta \right)} \end{align*}

Abbiamo calcolato la distanza percorsa dalla massa utilizzando solamente un bilancio energetico tra la posizione iniziale e finale.

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