Dinamica del punto materiale

Resistenza idraulica

Resistenza idraulica

La resistenza idraulica è una forza di attrito che si oppone al moto. Si presenta a velocità solitamente comprese tra i 2 e i 200 m/s. A differenza della resistenza viscosa, indica una dipendenza quadratica con la velocità

La forza di resistenza idraulica si esprime come:

    \[\vec F_R=-b v \vec v \]

dove b rappresenta il coefficiente di smorzamento idraulico.

Forza peso e resistenza idraulica

Consideriamo il moto di un grave in presenza di resistenza idraulica. Fissiamo un sistema di riferimento inerziale con l’asse diretto verso il basso. Per il secondo principio della dinamica scriviamo tutte le forze agenti sul grave:

    \[\vec P+\vec F_R=m \vec a\]

Scalarizzando l’equazione della dinamica lungo l’asse di riferimento si ottiene:

    \[mg - b v^2= m \frac{dv}{dt}\]

Imponendo A=\sqrt{mg/b} si ottiene

    \[\frac{dv}{dt}=g(1-(v/A)^2)\]

Possiamo quindi integrare analiticamente l’ultima equazione e ottenere:

    \[\int_{v_0}^{v(t)} \frac{dv}{1-(v/A)^2} = g \int_0^t dt\]

    \[v(t)=A \bigg( 1-\frac{2}{(A+v_0)/(A-v_0)e^{\frac{2gt}{A}}+1} \bigg) \]

Come per la resistenza viscosa, otteniamo un valore asintotico per tempi molto lunghi. La velocità asintotica, detta velocità limite, è pari a:

    \[v_\infty=\sqrt{\frac{mg}{b}}\]

Questo è il motivo per cui un paracadutista durante la caduta libera non aumenta infinitamente la sua velocità.

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