Dinamica del punto materiale

Resistenza viscosa

resistenza viscosa

Per resistenza viscosa si intende una forza che si oppone al moto di un corpo con una dipendenza lineare tra forza e velocità. Tale forza agisce in caso di velocità inferiori a 2 m/s, altrimenti si parla di resistenza idraulica. La forza viscosa viene quindi espressa come:

    \[ \vec F_R=-b \vec v\]

Dove la costante b racchiude moltissime proprietà del corpo quali il volume, la superficie e la forma.

Forza peso e resistenza viscosa

Consideriamo il moto di un grave in presenza di un fluido che agisce con una resistenza viscosa. Fissiamo il sistema di riferimento inerziale con l’asse che punta verso il basso. Per il secondo principio della dinamica si ottiene l’equazione della dinamica del grave:

    \[ \vec P+ \vec F_R=m \vec a\]

Scalarizzando le equazioni nel sistema di riferimento si ottiene:

    \[m g - bv= m \frac{dv}{dt}\]

Si ricava un’equazione differenziale del primo ordine non omogenea. Assumendo A=\frac{mg}{b} si risolve l’equazione come segue:

    \[\frac{dv}{dt}=g(1-v/A)\]

    \[\int_{v_0}^{v(t)} \frac{dv}{a-v/A}=g \int_0^t dt\]

    \[v(t)=A-(A-v_0)e^{-\frac{gt}{A}}\]

Per un tempo che tende ad infinito il valore della velocità tende ad un valore asintotico v_\infty=A=\frac{mg}{b} , noto come velocità limite. La velocità di un grave che precipita in un fluido viscoso non aumenta in maniera infinita. Steso comportamento accade in presenza di una forza idraulica.

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