Problema a parametri concentrati

Un modello a parametri concentrati significa considerare la temperatura di un corpo uniforme durante uno scambio lo calore. Consideriamo una sfera di rame che viene fuori da un un forno. Questa si raffredderà per convezione con l’aria. Tuttavia possiamo considerare la temperatura all’interno di tutta la sfera di rame come uniforme spazialmente. Ovviamente tale approssimazione dipende dal materiale che stiamo considerando.

Consideriamo un corpo a temperatura uniforme che viene lambito da un flusso di aria a temperatura maggiore. Trascuriamo lo scambio termico per irraggiamento e impostiamo il seguente bilancio:

(1) $\begin{equation*}hA (T-T_\infty)dt=-m c_p dT\end{equation*}$

Dove h è il coefficiente di scambio termico convettivo che si considera costante. A è la superficie del corpo, m la massa, $c_p$ il calore specifico a pressione costante. $T_\infty$ è la temperatura del fluido considerata costante nel tempo. Con queste ipotesi si scrivere:

(2) $\begin{equation*}d\frac{(T-T_\infty)}{(T-T_\infty}=-\frac{hA}{\rho V c_p }dt\end{equation*}$

che integrata tra il tempo zero e il tempo t diventa:

(3) $\begin{equation*}\frac{T(t)-T_\infty}{T_0-T_\infty}=e^{-\frac{hA}{\rho V c_p} t}\end{equation*}$

La temperatura del corpo aumenta uniformemente con il tempo fino a raggiungere asintoticamente la temperatura del fluido.

Numero di Biot e i parametri concentrati

Per verificare la validità dell’approssimazione dei parametri concentrati possiamo considerare il numero di Biot:

(4) $\begin{equation*}Bi=h \frac{L_c}{\lambda}\end{equation*}$

dove $L_c=V/A$ è una lunghezza caratteristica del sistema e $\lambda$ la conducibilità termica del corpo.
Il numero di Biot rappresenta il rapporto tra la resistenza interna e la resistenza esterna. Se tale rapporto è inferiore a 0.1 risulta accettabile l’assunzione del problema a parametri concentrati. Significa che la resistenza termica al calore all’interno del corpo è trascurabile rispetto alla resistenza che il corpo assume rispetto al calore esterno.