Conducibilità termica variabile

Cosa succede se consideriamo la conducibilità termica variabile con la temperatura? Facciamo un esempio molto semplice, una lastra piana con conduzione stazionaria, unidimensionale. Consideriamo la conducibilità variabile con la temperatura secondo la legge:

(1) $\begin{equation*}k=a+*T\end{equation*}$

Equazione di Fourier e conducibilità termica variabile

Consideriamo ora l’equazione costitutiva di Fourier e integriamola considerando uno spessore L della lastra:

(2) $\begin{equation*}q=-kS\frac{dT}{dx}\end{equation*}$

(3) $\begin{equation*}\int \frac{q}{S} dx=-\int k dT\end{equation*}$

(4) $\begin{equation*}\frac{q}{S}L=-\int_{T_1}^{T_2}(a+bT)dT=-[a(T_2-T_1)+b/2((T_2)^2-(T_1)^2)]\end{equation*}$

(5) $\begin{equation*}\frac{q}{S}L=(T_1-T_2)[a+b(T_2+T_1)/2]\end{equation*}$

(6) $\begin{equation*}q=k_m S \Delta T/L\end{equation*}$

Dove $k_m=a+b(T_2+T_1)/2$ .
Ciò significa che in presenza di un materiale con conducibilità variabile con la temperatura possiamo sempre considerare un valore medio di tale conducibilità e considerarla cosi indipendente dalla temperatura.
La distribuzione della temperatura nello spessore L è funzione delle costanti a e b. Nel caso di k costante si ottiene incece un andamento rettilineo della temperatura in funzione dello spessore.