Fondamenti della termodinamica

Equazione generale della conduzione

calore conduzione

L’equazione generale della conduzione è l’applicazione dell’equazione costitutiva di Fourier ad un volume di controllo, con ipotesi molto meno restrittive. Scrivendo il primo principio della termodinamica per sistemi chiusi abbiamo:

(1)   \begin{equation*}dQ-dL=dU-dE_c-dE_p\end{equation*}

calore in un fornoSe trascuriamo i termini dovuti all’energia potenziale e cinetica e ipotizziamo che non avvengano scambi di lavoro, l’equazione si riduce a:

(2)   \begin{equation*}Mdq=Mdu\end{equation*}

Dividendo per il tempo, esplicitando la massa del volume infinitesimo e ipotizzando che non ci siano variazioni di volume arriviamo a:

(3)   \begin{equation*}(\rho dx dy dz) c_v \frac{\partial T}{\partial t}=\dot{q_x} + \dot{q_g}(dxdydz)-\dot{q_{x+dx}}\end{equation*}

Dove il primo termine a secondo membro è il calore che entra nel volume di controllo. Il secondo termine è il calore generato nel volume e l’ultimo è il calore uscente. Ora possiamo sostituire l’equazione costitutiva di Fourier q=-kS\frac{dT}{dx} ed arrivare a questa espressione:

(4)   \begin{equation*}\rho c_v\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x} (k \frac{\partial T}{\partial x})+\frac{\partial}{\partial y} (k \frac{\partial T}{\partial y})+\frac{\partial}{\partial z} (k \frac{\partial T}{\partial z})\end{equation*}

Se consideriamo k costante allora k/(\rho c_v)=\alpha dove \alpha è la diffusività termica ed è rappresentativa della trasmissione del calore in regime non stazionario.

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