Termodinamica Applicata

Piastra con generazione di calore

uranium

Pratico esempio di una piastra con generazione sono le barre di plutonio nelle centrali nucleari o le celle a combustibile di un’auto elettrica.

fuel cell

Dobbiamo innanzitutto impostare un bilancio termico per una sezione della lastra considerando uno spessore infinitesimo dx che verrà poi integrata. Considerando la conduzione del calore unidirezionale e in regime stazionario abbiamo:

(1)   \begin{equation*}q_x+q_g S dx=q_{x+dx}\end{equation*}

(2)   \begin{equation*}{k S\left(\frac{dT}{dx}\right)_{x+dx}-KS\left(\frac{dT}{dx}\right)_x=-q_gS dx\end{equation*}

Otteniamo quindi:

(3)   \begin{equation*}\frac{d^2T}{dx^2}=\frac{-q_g}k\end{equation*}

Da questa relazione, che ci ricorda vagamente l’equazione generale della conduzione, possiamo integrare due volte per arrivare all’espressione della temperatura:

(4)   \begin{equation*}\frac{dT}{dx}=\frac{-q_gx}{K}+c_1\end{equation*}

(5)   \begin{equation*}T(x)=\frac{-q_g x^2}{2K}+c_1 x+c_2\end{equation*}

Ora dovremmo solamente imporre delle condizioni al contorno per determinare correttamente la temperatura.
Ad esempio possiamo porre l’origine del nostro sistema di riferimento ad un estremo della lastra e considerare che sia per x=0 sia per x=L avremmo T=T_p, dove T_p è la temperatura di parete.

Con alcuni passaggi matematici arriviamo a questa relazione:

(6)   \begin{equation*}T(x)=\frac{-q_g x^2}{2K}+\frac{q_g L}{2k}x+T_p\end{equation*}

Bilancio termico piastra con generazione calore

Potremmo anche impostare un altro bilancio termico con l’esterno per trovare la T_p, notando che il calore viene disperso dalle pareti per convezione, se ovviamente trascuriamo l’irraggiamento.

(7)   \begin{equation*}q_{cond}=q_{convez}\begin{equation*} \begin{equation*}-K S\left(\frac{dT}{dx}\right)_{x=0}=h_e S (T_p-T_\infty)\end{equation*}

E quindi atteniamo, con le opportune sostituzioni:

(8)   \begin{equation*}(T_p-T_\infty)=q_g L/h_e\end{equation*}

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