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Analisi alle differenze finite di un cilindro con generazione di calore

nuclear cylinder

Analisi alle differenze finite di un cilindro con generazione di calore interno attraverso un approccio analitico ed uno numerico.
L’equazione generale della conduzione di Fourier regola il fenomeno fisico:

(1)   \begin{equation*}\nabla^2 T+ \frac{q_g}{k}=\frac{1}{\alpha}\frac{ \partial T}{\partial t}\end{equation*}

che viene poi semplificata attraverso le seguenti ipotesi:

  • condizioni stazionarie;
  • problema monodimensionale;
  • temperatura esterna costante;
  • proprietà termofisiche del problema costanti.

L’equazione espressa in coordinate cilindriche e semplificata con le precedenti ipotesi diventa:

(2)   \begin{equation*}\frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial T}{ \partial r})= -\frac{q_g}{k} r\end{equation*}

cilindroSi considera una generazione interna di calore q_g=4 10^6 W/m^3, un coefficiente di scambio convettivo sulla superficie esterna h=500 W/{m^2 K}, una conducibilità termica k=40 W/{mK}, una temperatura esterna T_\infty=20 ^\circ C ed un raggio del cilindro R= 10 cm. Risolvendo l’equazione differenziale con le condizioni al contorno sopra esposte si ottiene:

(3)   \begin{equation*}T(r)=T_\infty +\frac{q_g}{4k} (R^2-r^2)+\frac{q_g}{2h}R\end{equation*}

Per la soluzione numerica invece si procede utilizzando il metodo numerico delle differenze finite e scomponendo l’equazione con le differenze centrali si ottiene:

(4)   \begin{equation*}(1+\frac{1}{2i})T_{i+1} - 2T_i + (1-\frac{1}{2i})T_{i-1}=-\frac{q_g}{k}\Delta r^2\end{equation*}

Un programma in Fortran è stato sviluppato per calcolare la soluzione analitica e numerica. Per le condizioni al contorno  si considera un’approssimazione sia del primo che del secondo ordine, permettendo quindi un confronto sulla precisione dei due metodi. Il programma crea una griglia di calcolo, suddividendo il dominio fisico in tanti nodi. Successivamente crea una sistema di equazioni che sarà poi risolto da una subroutine contenente un algoritmo di Gauss per la risoluzione di sistemi lineari. Sotto sono visibili i risultati per una griglia di 30 nodi.

temperatura cilindro 30 nodi

Errore assoluto e relativo

Alla fine vengono anche calcolati gli errori assoluti e relativi della soluzione numerica:

(5)   \begin{equation*}E_{ass}=T_{ana}-T_{n um}\end{equation*}

(6)   \begin{equation*}E_{rel}=\frac{E_{ass}}{T_{ana}}100\end{equation*}

dove T_{ana} rappresenta la temperatura analitica e T_{n um} la temperatura numerica.

Il post-processing dei risultati è stato eseguito tramite Matlab. Il confronto dei risultati ha evidenziato una indipendenza dalla griglia di calcolo per più di 30 nodi. Oltre 30 nodi l’accuratezza della soluzione numerica risulta indipendente dal numero di nodi.

Clicca qui sotto per scaricare la relazione completa del progetto.

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